Plotting

Tracciamento del diagramma di funzioni

>> x=linspace(0,100,512);
>> plot(x,sqrt(x))

Mostra il diagramma

Ma la funzione plot può tracciare più di una funzione alla volta

>> x=linspace(0,2*pi,100)';
>> s=[sin(x) sin(2*x) sin(3*x) cos(x) cos(2*x) cos(3*x)];
>> plot(x,s)

Notare che linspace viene trasposta con l'operatore x in un vettore. Quindi le funzioni sin sono tutti vettori e vanno a comporre una matrice, la funzione plot lavora per colonne e traccia la tutte le colonne della matrice s

Qual'è la dimensione della matrice? Usate la funzione size e interpretate la risposta

plot(x,s) funziona anche se il primo argomento x è una matrice di uguale dimensione di s. Anche in questo caso plot lavora 'per colonne' disegnando il grafico prendendo i punti da ogni colonna corrispondente. Costruite una matrice

xm=[cos(3*x+alfa) cos(x+alfa) cos(2*x+alfa)...
sin(3*x+alfa) sin(x+alfa) sin(2*x+alfa)]

scegliendo un valore per alfa tracciate

plot(xm,s)

Il risultato sono alcune figure di Lissajou.

Plot 3D

Il plot in 3 dimensioni richiede che si costruisca un dataset costituito da terne di coordinate nello spazio cartesiano 3-dimensionale.

Il tracciamento di superfici è un caso importante di plot 3D nella nostra prospettiva perchè un immagine è costruita da punti luminosi (pixel) rappresentati secondo il modello RGB o grayscale . Un immagine è quindi una sorta di rappresentazione del valore di una funzione che dipende dalle coordinate dei pixel (u,v) dell'immagine.

In analogia a quanto mostrato per il caso del diagramma 2-D costruiamo delle superfici d'esempio a partire da espressioni analitiche per poter chiarire il ruolo delle funzioni che intervengono nel plotting 3-dimensionale

Le operazioni necessarie sono nella costruzione di 2 matrici con la funzione meshgrid

La prima contiene il valore di X per ogni punto da tracciare
La seconda contiene il valore di Y per ogni punto da tracciare

Prendiamo il caso di tracciare la funzione x² +y² per i valori di x e y nella porzione di piano [-1...1,-1...1]

>> x=linspace(-1,1,100); y = x;
>> [xx,yy]=meshgrid(x,y);

Usiamo quindi l'operatore di prodotto elemento per elemento di 2 matrici e calcoliamo il valore della superficie (asse z )

>> z=(xx.*xx + yy.*yy);

Infine combiniamo tra loro queste matrici per tracciare la superficie

>> mesh(xx,yy,z)

Oppure

>> surf(xx,yy,z)

sapreste prevedere il valore contenuto nelle matrici xx e yy ? Stampando il valore di queste matrici ne sapete interpretare il significato? E' possibile costruirle in altro modo?

Eseguite questo esercizio per la funzione

$$ e^{\frac{-(x^2+y^2)}{d}} \cdot cos(2 \pi \omega \cdot (x^2+y^2))$$

assegnando a omega e d valori di volta in volta diversi (suggerimento: partite con i valori omega=2 e d=0.5 per poi cambiarli). Prestate attenzione al significato e alla rappresentazione degli elementi e operazioni che compaiono nell'espressione data. Il risultato dovrebbe essere come quello raffigurato qui a fianco. E' in generale utile esaminare separatamente le due funzioni che vengono moltiplicate tra loro e comunque è importante:

Prestare attenzione alla priorità degli operatori
Nel caso si debba modificare la priorità degli operatori e raggruppare tra loro termini si deve osservare il bilanciamento delle parentesi. Comunque sia il numero di parentesi aperte deve sempre essere uguali alle parentesi chiuse presenti nell'espressione.
Considerare se una funzione o operatore si applica elemento per elemento
Se ci sono espressioni ricorrenti o speciali è utile calcolarle separatemente e memorizzarle in una matrice separata. In questo caso può essere utile salvare in una matrice l'espressione $x^2+y^2$ che appare in 2 punti. Questo aiuta a ridurre gli errori e rende i comandi più leggibili

Cambiando i valori di d e omega cambiano il numero sombrero.png di oscillazioni e la loro distribuzione. E' importante notare il rapporto tra il valore dei parametri che controllano la superficie e il dominio della superficie le cui coordinate sono memorizzate nelle matrici xx e yy . Si può cambiare la dimensione della matrice aumentando il numero di righe e colonne variando il valore del terzo parametro della funzione linspace : la matrice avrà una dimensione diversa, ma l'output manterrà lo stesso aspetto

Plot di una superficie come immagine

Suppomiamo di memorizzare la superficie nella variabile zz . Un'immagine a scala di grigi è rappresentabile come superficie e viceversa. Una volta osservato l'aspetto della superficie di prova dovrebbe essere naturale intepretare l'output del comando imshow applicato alla matrice zz . Prima di tutto però questa matrice va riadattata in modo che i valori contenuti possano essere interpretati come un'immagine grayscale . Per praticità prendiamo un'immagine a scala di grigi come una distribuzione bidimensionale di valori compresi nell'intervallo [0,1] . Octave offre la funzione mat2gray che converte una matrice data in una nuova matrice i cui valori sono compresi tra 0 e 1 (se non viene specificato un intevallo tramite il secondo argomento), fissando a zero il valore minimo della matrice ad uno il valore massimo e calcolando i nuovi valori intermedi mantenendo la proporzionalità delle differenze rispetto al minimo.

I valori minimo e massimo nella matrice zz sono

>> min(min(zz))
ans = -0.61422
>> max(max(zz))
ans =  0.99959

Una volta convertita in un'immagine grayscale

>> zz=mat2gray(zz);
>> min(min(zz))
ans = 0
>> max(max(zz))
ans =  1